[Vui] Mời thử sức với 5 bài toán hình học cấp 2, anh em giải được mấy câu?

Bài 2: Đáp án: 4π

Phần cuối đường xoắn ốc sẽ khiến nhiều anh em đau đầu. Thay vì cố tính, anh em có thể cắt đôi hai nửa hình xoắn ốc như hình dưới đây. Anh em có thể thấy hình tròn ở chính giữa sau khi cắt và sắp xếp lại sẽ là màu đỏ chứ không phải màu vàng. Đây là phần diện tích màu đỏ lớn hơn.


Hình tròn này có đường kính là 4, vốn là khoảng cách giữa từng điểm cho sẵn, kết quả là π x 2² = 4π.

Bài 3: Đáp án: π

Thực tế bài này có thể giải theo hai cách, một trong hai cách đó là ngụy biện logic. Anh em đọc đề bài, không hề thấy đề cập gì đến vị trí đoạn thẳng. Hãy ngụy biện bằng cách đặt đoạn thẳng này bắt đầu từ tâm của hình bán nguyệt lớn cho dễ. Lúc này chỉ việc tính diện tích hai hình bán nguyệt nhỏ, rồi lấy diện tích hai hình bán nguyệt lớn trừ đi là xong.

Bán kính là 2, vậy diện tích hình bán nguyệt là 2π. Hai hình bán nguyệt nhỏ tạo thành một hình tròn đường kính là 2, vậy diện tích của chúng là π*1²= π.

Trừ hai con số này, diện tích phần màu vàng là π.

Tuy nhiên có cách giải khác nếu anh em coi cách 1 là ngụy biện vì vị trí đoạn thẳng bị thay đổi, anh em có thể phản biện đoạn thẳng ban đầu sẽ ngắn hơn đoạn thẳng bán kính sau khi thay đổi vị trí. Cách này là cái cách theo sách giáo khoa, các cô giáo hay dùng để hướng dẫn học sinh trung học ở Việt Nam. Vẽ thêm hai đoạn thẳng như hình dưới đây, chúng ta có hai tam giác vuông.


Đặt hai cạnh huyền của hai tam giác là x và y, hai cạnh vuông chưa biết độ dài là a và b, theo định lý Pythagoras chúng ta có ba phương trình:

• x² = a² + 2²
• y²= b² + 2²
• (a + b)² = x²+ y²

Cộng vào trừ đi một hồi sẽ có phương trình như thế này: (a + b)² – a² – b² = 8

Quay trở lại với hình gốc. Hình bán nguyệt lớn có bán kính là (a + b)/2, còn hai hình bán nguyệt nhỏ có bán kính lần lượt là a/2 và b/2. Tính diện tích từng hình dựa trên bán kính đã có sẵn, sau đó lấy diện tích hình to trừ đi hai hình bé kết quả sẽ là (π/8)* [(a + b)² – a² – b²]. Trên kia chúng ta có (a + b)² – a² – b² = 8.

Kết quả vẫn ra π mà thôi.

Bài 4: Đáp án: 8π

Chúng ta vẫn có thể xài hai cách giải như bài 3, một ngụy biện và một đặt biến, kết quả vẫn như nhau.

Tương tự như bài 3, vị trí của đoạn thẳng và 4 điểm trên đoạn thẳng đó không có điều kiện đưa ra trong đề bài, vậy đặt lại đoạn thẳng đó vào vị trí đường kính hình tròn đi cho tiện. Lúc này, diện tích hình "donut" màu hồng sẽ bằng diện tích hình tròn lớn bán kính là 3 trừ đi diện tích hình tròn nhỏ bán kính là 1.


Kết quả là π3² – π1² = 8π

Cách 2, dùng định lý Pythagoras. Anh em lại tạo ra một tam giác từ tâm hai hình tròn như hình dưới đây, để a là bán kính hình tròn lớn, b là bán kính hình tròn nhỏ.


Đoạn thẳng có độ dài x chắc chắn vuông góc với cạnh huyền của tam giác, một tính chất của hình viên phân với tâm hình tròn tạo nên nó. Nhờ định lý của nhà toán học lỗi lạc chúng ta có:

• a² = x² + 3²
• b² = x² + 1²

Trừ hai phương trình này chúng ta có a² – b² = 8. Vì a và b là bán kính hai hình tròn ban đầu, nên diện tích của hình vành khăn màu hồng sẽ là πa² – πb² = π(a² – b²) = 8π.

Bài 5: Đáp án: 10

Đầu tiên anh em kẻ đường chéo của hình vuông lớn nhất. Đường chéo này song song với cạnh nhỏ nhất của tam giác màu xanh.


Sau đó di chuyển đỉnh tam giác trong hình gốc từ một đầu đường chéo anh em vừa vẽ thêm xuống điểm còn lại của đường chéo. Vì đường chéo này song song với cạnh đáy tam giác, nên chiều dài đường cao của tam giác này giống hệt như đường cao của tam giác ban đầu. Công thức tính diện tích tam giác là một nửa tích cạnh đáy nhân chiều cao, nên diện tích của hai hình tam giác là giống nhau.


Tuy nhiên không có gì đảm bảo hai cạnh mới của tam giác, vốn là đường chéo của hình vuông nhỏ nhất với hình vuông nhỏ thứ nhì vuông góc với nhau cả, vì thế phải thực hiện thao tác tương tự, coi đường chéo của hình vuông nhỏ thứ nhì là đáy, di chuyển đỉnh tam giác theo đường chéo của hình vuông nhỏ nhất ở dưới cùng bên trái hình gốc. Tương tự với bước 1, hình tam giác mới này vẫn có diện tích giống hệt như diện tích hình chúng ta cần tìm lời giải.

Đến đây mọi chuyện dễ hơn hẳn. Diện tích tam giác mới, bằng với diện tích tam giác ban đầu, đó là một nửa diện tích hình vuông nhỏ thứ nhì trong hình gốc.


Hình vuông nhỏ nhất có diện tích là 5, vậy cạnh của nó sẽ là √5, cạnh hình lớn hơn sẽ là 2√5, và diện tích bình phương lên sẽ là 20. Chia đôi là ra kết quả của bài toán.